ірраціональні рівняння та методи їх розв'язку

Розв'язуючи ірраціональні рівняння можна застосовувати такі методи:

1. Піднесення обох частин рівняння до одного й того ж степеня;
2. Введення заміни змінних;
3. Штучні прийоми.

Якщо розв'язувати рівняння першим методом, тобто піднесенням до степеня можуть з'являтись стороні корені.

Наприклад, розв'язати рівняння.

Розв'язання: при піднесені до квадрата, отримаємо:

;

;

Коренем рівняння буде тільки, перевіремо (), а осьє стороннім, тому що ().

Отже, при розвязувані ірраціональних рівнянь з парним степенем радикала потрібно знаходити ОДЗ або виконувати перевірку.

Відокремлення квадратного кореня

Розглянемо даний метод на прикладі:

розвязати рівняння.

Розвязання: відокремимо один корінь, тобто перенесемо в праву частину

.

Тепер піднесемо до квадрату праву та ліву частини:

.

Так як корінь залишився, піднесемо ще раз до квадрату:

.

Два корені є розв'язками рівняння, тому що підставивши їх в початкове рівняння матимемо вірну рівність:

Якщо, то;

Якщо, то;

В деяких випадках раціональніше почати розв'язання із знаходження ОДЗ.

Наприклад, розв'язати рівняння.

Розв'язання: ОДЗ:

Тобто область визначення має тільки одне значення. Залишилося перевірити чи буде дане число розв'язком рівняння:.

.

Відповідь: 2.

Для розв'язування ірраціональних рівнянь необхідно пам'ятати:

1. Якщо рівняння містить корені парного степеня, то вони арифметичні, тобто не можуть дорівнювати від'ємному числу, а також підкореневий вираз невід'ємний;
2. Якщо корінь непарного степеня то він визначений для будь-якого підкореневого виразу;
3. Якщо використовуємо властивості кореняабо, то область визначення може звузитись, а це не допустимо.

Розглянемо наступний метод розв'язування ірраціональних рівнянь - метод заміни змінних.

Наприклад, розв'язати рівняння.

Розв'язання: нехай, тодіі тому початкове рівняння матиме вигляд:.

Розв'яжемо його:, піднесемо до квадрата

;

.

Зробимо обернену заміну:

.

При виконанні перевірки отримуємо, що обидва корені задовольняють початкове рівняння.

Відповідь: -1;7.

Спряженість в ірраціональних рівняннях.

Наприклад, розв'язати рівняння

Розв'язання: складемо нове рівняння:

Перемножимо почастинно рівняння (1) і (2):

.

Далі виразимочерез:.

Таким чином,

.

Якщо додати початкове рівняння до отриманого вище, матимемо:

;

Перевіривши корені з'ясуємо, що обидва є розв'язками рівняння.

Відповідь:

Інформація з сайту https://course.besmart.study/course/list